Элементарные функции
комплексной переменной (сокр. ФКП) К элементарным ФКП относятся следующие
функции: степенная, показательная, тригонометрические, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций,
арифметических действий, действий возведения в степень и извлечения корня "
"-й степени, обычно тоже называются элементарными
Рациональные ФКП Вычислить приближенно
. Гиперболические
ФКП. Формулы ЭЙЛЕРА Вычислить
.
Тригонометрические
ряды терменология. Постановка задачи
Разложение
функций в степенные ряды Тейлора имеют недостатки: суммой сходящихся степенных
рядов могут быть лишь функции, дифференцируемые в точке бесконечное множество
раз; частичные суммы степенного ряда приближают функцию только в некоторой окрестности
точки разложения и т.д. Вместе с тем как в самой математике, так и в ее приложениях
приходится исследовать функции, заданные на промежутках и имеющие там "изломы"
и "скачки", т.е. не только недифференцируемые в некоторых точках, но
даже и не являющиеся непрерывными на промежутках. Для таких функций может оказаться
эффективным представление их тригонометрическими рядами. Периодические функции
Гармоники
Простейшими периодическими функциями являются простые гармоники (или просто гармоники)
– функции вида
Условия разложения функции в тригонометрический
ряд Фурье
Из сходимости
тригонометрического ряда (4) имеем
или
. Интуитивно ясно, что
равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей
и
при
.
Достаточные
условия сходимости тригонометрического ряда Фурье Характер и скорость сходимости
ТРФ функции определяется не только непрерывностью функции, но главным образом
ее гладкостью на промежутке периодичности. Тригонометрические рыды Фурье
для четных и нечетных функций Разложение
непериодической функции в тригонометрический
ряд Фурье
Пример.
Разложить функцию
,
в ТРФ, доопределив ее четным
образом на
. Комплексная
форма тригонометрического ряда Фурье Рассмотрим
–периодическую функцию
, (
– время), удовлетворяющую условиям
разложимости в ТРФ Обозначим
. Пример.
Разложить
– периодическую функцию
, заданную на
соотношением
в ТРФ в комплексной форме.
Для
функции предыдущего примера построить ее частотные
спектры Понятие функции комплексной переменной. Простейшие
свойства определение ФКП Пример. Показать по определению
.
ФКП называется непрерывной на
множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В силу теоремы,
сформулированной в п. 1.2, ФКП
непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций
и
непрерывна в точке (на множестве)
как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП
справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных
функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.
Пример.
Построить область, ограниченную линиями:
;
;
Дифференцирование
ФКП Определение производной ФКП Условия
дифференцируемости ФКП С понятием производной ФКП в точке связано понятие
дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).
Пример. Показать, что ФКП
всюду дифференцируема; вычислить
производную ФКП.
Аналитичность
ФКП Из множества дифференцируемых ФКП выделяются аналитические ФКП (сокр.
АФКП); свойства аналитических ФКП изучает теория аналитических функций комплексной
переменной. Однозначная ФКП
называется аналитической (иначе регулярной) в области
, если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Восстановление
аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте
Интеграл
ФКП определение и свойства интеграла ФКП Пример.
Вычислить интеграл
, где
– отрезок, соединяющий точки
и
.
Интегрирование
аналитической ФКП. Теорема Коши Одним
из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость
интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).
Пример.
Вычислить интеграл
,
– целое.
Интегральная
формула Коши Пусть ФКП
– аналитическая в односвязной области
, произвольный контур
"погружен" в
,
– произвольная точка внутри
. Тогда в этой точке
значение ФКП
определяется через значения
на контуре
по интегральной формуле
Классификация
особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора Пример. Разложить
в ряд ФКП
по степеням
.
Разложение
ФКП в ряд Лорана Пусть однозначная ФКП
является аналитической функцией внутри кольца
между окружностями
и
с центром
; пусть
– произвольная точка этого кольца.
Пример.
Убедиться, что для ФКП
ряд
Лорана по степеням
состоит из конечного числа слагаемых.
Пример.
Указать все области, в которых возможно
разложение функции
в ряды Лорана по степеням
. Найти эти разложения.
Классификация
изолированных особых точек ФКП Пример.
Показать, что функция
имеет УОТ
.
Пример
Показать, что для ФКП
точка
– полюс второго порядка, точка
– полюс первого порядка.
Интегрирование ФКП с помощью
вычетов Вычет ФКП в особой точке,
его вычичление Понятие вычета является одним из основных понятий в теории ФКП
и ее приложениях. Пример. Вычислить вычеты
ФКП 
Основная
теорема о вычетах Пусть ФКП
аналитическая на границе
области
и внутри этой области за исключением
конечного множества изолированных особых точек
. Построим около каждой особой
точки
контур
так, чтобы внутри
была только одна особая точка
;
контуры не пересекались; все контуры
были расположены внутри
, ориентация всех контуров совпадает
Пример Для
убедиться в выполнении равенства Вычислить
.
Интегрирование
функции действительной переменной методами теории ФКП