В основе операционного
исчисления лежит преобразование Лапласа Множество функций-оригиналов отображается
в множестве функций-изображений, при этом операции над оригиналами переходят в
некоторые операции над изображениями. В частности, операции дифференцирования
и интегрирования оригиналов переходят в действия соответственно умножения и деления
во множестве изображений. Поэтому линейное дифференциальное уравнение в множестве
оригиналов преобразуется в алгебраическое уравнение в множестве изображений. Решив
полученное алгебраическое уравнение, находим прообраз его решения в множестве
оригиналов, затем восстанавливаем решение исходного дифференциального уравнения.
Простейшие свойства преобразования Лапласа
Интегрирование оригинала
Дифференцирование
оригинала
Интегрирование изображения
Теорема
о сдвиге аргументов оригинала и изображения
Теорема о запаздывании оригинала Найти изображение
функции, представленной графиком
Изображение
периодического сигнала
Если
есть
–периодическая функция, то
– периодический оригинал. График его есть график
функции, построенный на
и периодически продолженный на
.
Представим изображение периодического оригинала в виде
.
Основные свойства преобразования
Лапласа
Пример. Найти оригинал
для изображения
.
Пример. Восстановить
оригинал по изображению
Обращение
преобразования Лапласа Задача восстановления оригинала по известному изображению
в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа.
Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения
обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем
основные теоремы этой теории.
Примеры применения операционного исчисления
к решению дифференциальных уравнений
ПРИМЕР. Найти
частное решение уравнения
,
Свертка
односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля
Пример.
Найти оригинал
, соответствующий изображению
.
Формулы
Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений
Интеграл
Фурье. Преобрацование Фурье
Теорема
Фурье Пусть функция
1) абсолютно интегрируема на
; 2) кусочно-гладкая на
при любом
. Тогда имеет место
интегральная формула Фурье. Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ
к ИФ требует специального обоснования. Нельзя переходить к пределу при
непосредственно в ряде, так как обычная
интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная
функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения. Спектральные
характеристики функции Различные
записи интеграла Фурье Проиллюстрировать
теорему о свертке оригиналов для функций примера
Дельта
-функция, ее свойства Пример. Найти
изображения функций: а)
; б)
; в)
; г)
; д)
; е)
.