Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число  называется пределом последовательности  при , если выполняется условие

, (*)

т.е. для всякого, в том числе и сколь угодно малого, числа  можно указать такой номер , что для всех членов последовательности   с номерами, большими , значение модуля разности чисел  и  меньше . Коротко записываем  или  при .

Поскольку  – расстояние между точками  и , то выполнение условия (*) геометрически означает, что какого бы радиуса  ни описать окружность с центром в точке , внутри этой окружности лежат все точки последовательности , номера которых больше .

Множество  называется  – окрестностью точки .

Если последовательность  при  имеет пределом комплексное число , то она называется сходящейся к числу . В противном случае, т.е. в случае, когда не выполнено условие (*) для любого числа , последовательность называется расходящейся.

Иногда поведение последовательности комплексных чисел  можно изучить через поведение последовательностей  и .

ТЕОРЕМА. Число  является пределом последовательности  тогда и только тогда, когда одновременно при  число   является пределом последовательности , число  является пределом последовательности .

Доказательство. () Предположим, что . Покажем, что тогда  и  (одновременно).

В самом деле, по определению предела для  и  выполняется условие (*). Но

,

откуда имеем  и аналогично  при любом . Поэтому из (*) получаем соотношение , определяющее свойство числа : . Аналогично показывается, что .

() Пусть теперь, наоборот, пределы действительнозначных последовательностей  и  существуют, т.е.  и . Покажем что существует , и его значение равно .

В самом деле, по определению предела последовательности имеем   и

 .

Выберем . Тогда оба неравенства выполняются одновременно для всех . Поэтому имеем

,

т.е. согласно (*) число  есть предел последовательности  при . Теорема доказана.

ПРИМЕР 3. Пусть . Здесь имеем ,  при . Применяя теорему, можно утверждать, что последовательность  сходится к числу , т.е.

.

ПРИМЕР 4. Последовательность  является расходящейся, так как предел последовательности действительных чисел  не имеет конечного предела (расходится).

ПРИМЕР 5. Последовательность  также является расходящейся, поскольку .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность  называется ограниченной, если выполняется условие

,

т.е. существует действительное положительное число  такое, что модули  не превосходят числа  для всех номеров .

Число  можно геометрически представить как расстояние от точки  до начала координат . Поэтому для ограниченной последовательности существует окрестность с центром в начале координат (радиуса ) такая, что внутри нее расположены все точки последовательности.

ТЕОРЕМА (о связи понятий "сходимость" и "ограниченность")

Если последовательность  сходится, то она ограничена.

Обратное утверждение неверно.

Доказательство. Пусть . Тогда по условию (*) для любого выбранного числа   все точки , для которых , попадут в , т.е. . Но по свойствам модуля комплексных чисел имеем , откуда получаем

.

Вне  могут находиться лишь точки  при . Если обозначить через  наибольшее из чисел , то  и при любом  имеем , т.е. последовательность  ограничена.


Разложение функций в степенные ряды