Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

Выполнение третьего задания предполагает знание уравнений прямой на плоскости и в пространстве и уравнений плоскости.

Решим типовую задачу.

 Задача 3. Провести плоскость через перпендикуляры из точки   к плоскостям  и . Найти расстояние от основа­ния первого перпендикуляра до второй плоскости.

 Решение.

 1. Обозначим через  первую плоскость , а через - вторую плоскость . Очевидно, что в качестве нормаль­ного вектора   искомой плоскости можно взять векторное произведе­ние нормальных векторов и данных плоскостей и :

 .

Теперь, используя уравнение плоскости, проходящей через данную точку   перпендикулярно вектору , получаем  или .

2. Найдем проекцию P точки  на плоскость . Вектор будет направляющим вектором перпендикуляра AP, то есть

. Поэтому каноническое уравнение этого перпендикуляра имеет вид .

Приводим данные уравнения к параметрическому виду, приравнивая к   каж­дое из трех данных отношений:.

Подставляя полученные значения  в уравнение плоскости :

, получаем: , откуда находим значение параметра, соответствующее точке P пересечения прямой AP с данной плоскостью .

Находим координаты P:

,то есть .

3.Используя формулу расстояния от точки P до плоскости , находим:

.

 Ответ: искомая плоскость , а расстояние от основания перпендикуляра AP на плоскость  до плоскости  равно 5/3.

Пример 4:

Найти количество соли в растворе через время t, если известно, что изначально было 10 кг соли в 100 л воды, но каждую минуту в резервуар поступает 20 л воды, а выливается 30 л раствора.

Vр-ра(t) = 100 + 30t –20t = 100 + 10t x(0)=0, x(t)– количество соли

 ;

 ; при t = 0 x(0)=10 C = 1000


Пример. Вычислить интеграл