Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

Задача . Решить систему:

  

 Решение.Обозначим через  и  основную и расширенную матрицы сис­темы соответственно.

.

 Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для этого возьмем расширенную матрицу  и элементарными преобразованиями строк (только!) приведем ее к трапециевидной форме:

.

 При этом матрица  перейдет в .

Отсюда .Обозначим  через .Так как ранги  и  совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

 

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной. Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной системы решений, которая состоит из  векторов, что в нашем примере равно двум.

 Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалент­ную ей систему с матрицей :

  За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу мат­рицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных .Тогда, придавая оставшимся переменным  любые значе­ния, неизвестные  можно получить единственным образом. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных пе­ременных, такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

 Взяв  из системы

получим  и вектор решений . Затем, аналогично, взяв , получим .

 Общее решение однородной системы имеет вид , где  и - произвольные числа.

 Теперь найдем какое-либо решение неоднородной системы. Система, соответствующая матрице , имеет вид

и эквивалентна данной. Из соображений, указанных выше, положим . Тогда ,и вектор решений

.

  Таким образом, общее решение системы будет иметь вид   или

 .

Пример 3:

Найдем  закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.

Составим дифференциальное уравнение:   

 


Пример. Вычислить интеграл