Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач specialauto.net

Математика задачи операционное исчисление

Понятие числового ряда.

Пусть числа  - члены некоторой бесконечной числовой последовательности. Тогда выражение вида 

  (1)

называется числовым рядом. Здесь  - общий член ряда (1).

Рассмотрим для числового ряда (1) суммы его первых членов:

Будем называть их частичными суммами и обозначим соответственно  (2)

Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность.

 Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) имеет конечный предел. Этот предел  называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

Простейшие примеры сходимости и расходимости дает ряд, члены которого образуют бесконечную геометрическую прогрессию:

  .
 

Если >1, то ряд расходится, так как

а если  то ряд сходится и сумма его равна
Если , то ряд расходится.
Если , то имеем, что Значит, не существует предела последовательности частичных сумм и ряд расходится.

Таким образом, если , то геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей. Она образует сходящийся ряд (сумма его ). Если , то прогрессия является расходящимся рядом.

Пример. Найти сумму ряда

.

  Рассмотрим сумму первых n членов ряда

.

Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:

Поэтому,

.

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

.Таким образом, данный ряд сходится и его сумма S равна 1.

Ряд, членами которого являются члены ряда (1), начиная с (n+1)-го, взятые в том же порядке, что и в исходном ряду, называется n-ым остатком ряда (1) и обозначается
Теорема (критерий сходимости). Чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобыпредел n-го остатка ряда при  был равен нулю.
Доказательство: Для сходящегося ряда существует конечная сумма его членов 
так как  то, переходя к пределу при , получим

Пример:

Если задать начальные условия: y (0) = y0 , V(0)=V0 , то V0=С1 y0=С2

Чтобы решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: , т.е. найти функцию-решение (интегральную кривую), проходящую через данную точку, достаточно задать 1 условие: y(х0)= y0.

Теорема: Пусть функция  определена и непрерывна в области . Пусть  непрерывны в . Тогда задача Коши, состоящая в нахождении решения уравнения  с начальными условиями   (где точки  принадлежат области ) имеет, притом единственное решение y = y(x), в окрестности x=x0. (без доказательства).


Пример. Вычислить интеграл