Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Числовые рады в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – произвольная последовательность комплексных чисел . Тогда символ

называют числовым рядом в комплексной области (в ).

Сумма первых  членов ряда   есть -я частичная сумма ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если последовательность частичных сумм  ряда  сходится к числу , то ряд называется сходящимся, а число   – его сумма. Если же последовательность  расходится, то ряд  называется расходящимся.

Если слагаемые ряда  заданы через свои  и  компоненты, т.е. , то естественно изучать поведение ряда  через поведение рядов .

Обозначим , .

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда в )

Ряд  сходится тогда и только тогда, когда ряды  и  сходятся одновременно.

Доказательство. () Пусть . Покажем, что при  ряды  и  сходятся, т.е. при  существуют пределы их частичных сумм  и  (одновременно).

В самом деле, частичную сумму  можно представить в виде сумм  для всякого . Поскольку существует  и он равен числу , то по соответствующей теореме одновременно существуют пределы  и , причем они равны числам  и .

() Пусть и , где  и  – действительные числа. Покажем, что в этом случае из сходимости рядов  и  следует сходимость ряда .

Действительно, поскольку  для всякого , то при  последовательность  сходится, причем значение ее предела равно числу . Теорема доказана.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим ряд

. (**)

Чтобы воспользоваться теоремой, составим числовые ряды из действительных и мнимых частей слагаемых ряда (**), а именно:  и

.

Каждый из этих рядов есть знакопеременный ряд, составленный из действительных чисел. К ним применима теорема Лейбница, согласно которой ряд сходится (причем абсолютно), т.е. сходится и рассматриваемый ряд (**).

Найдем сумму  этого ряда.

Ряд  – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем прогрессии , поэтому . Аналогично . Итак, сумма ряда (**) есть число .

Критерий Коши для ряда  может быть перефразирован; в частности, и необходимое условие (признак) сходимости ряда: если ряд   сходится, то .

Если предел -го члена ряда  не является нулем, то ряд расходится. Поэтому, например, ряд  является расходящимся, так как .

Не всегда последовательность  задается через  и , иногда сложно выделить эти компоненты. В этом случае можно использовать достаточное условие сходимости.


Разложение функций в степенные ряды