Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи операционное исчисление

Функциональные ряды

Рассмотрим ряд вида:

   (8)

где  - некоторые функции аргумента х, заданные на множестве Х. В этом случае говорят, что на множестве Х задан функциональный ряд.

Если фиксировать какое-нибудь, то ряд  (9)

является числовым рядом. Если числовой ряд (9) сходится, то говорят, что функциональный ряд (8) сходится в точке . Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Область сходимости может совпадать с множеством Х, но может быть и пустым множеством.

Пусть   - область сходимости ряда (8). Тогда для каждого фиксированного  соответствующий числовой ряд  сходится и имеет сумму. Если каждому  поставить в соответствие число, равное этой сумме, то на множестве  определена некоторая функция , называемая суммой функционального ряда (8). Тогда записывают:


Точно так же, как и для числовых рядов, частичная сумма ряда (8)

 Тогда сходимость функционального ряда определяется как сходимость последовательности частичных сумм  для каждого :  Это означает, что для  выполнено неравенство

 В общем случае  зависит как от  так и от  Только для сходящегося функционального ряда верно равенство  где
Пример. Исследовать сходимость ряда
Зафиксируем   В этом случае имеем бесконечно убывающую геометрическую прогресию со знаменателем  и суммой  Если , то  Значит ряд сходится для  Получили, что, несмотря на то, что все члены ряда непрерывные функции и ряд сходится для , его сумма является разрывной функцией.

Признак Вейерштрасса. Если члены функционального ряда  удовлетворяют неравенству ,  и числовой ряд  сходится,

 то ряд (8) равномерно сходится в области .

Пример:

Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).

L – индуктивность, R – сопротивление

Сделаем замену переменных:  и подставим

Где: α=

Всегда можно ввести ω0  (собственная частота):  

* При больших t стремится к нулю 

Уравнение Клеро: . Вводя параметр , получаем .  или . Тогда, если , то  и  – это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если же , то . Тогда  – особое решение (проверяется подстановкой в исходное уравнение) .


Пример. Вычислить интеграл