Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Задача. Исследовать на сходимость ряд.

Рассмотрим ряд из модулей

При любых значениях n выполняется неравенство .

Рассмотрим ряд

Интегральный признак Коши

Ряд сходится, значит наш знакопеременный ряд обладает абсолютной сходимостью.

Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью .

Сумма ряда: , где остаток ряда. По условию задачи Для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.

Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда

Задача 9. Найти область сходимости ряда.

Ряд будет сходится при Причем при - условно имеем .

Следовательно

  сходится условно.

Область сходимости .

Пример:

1-α>1 ~ α<0, A – сходится.

1-α<1 ~ α>0, A – расходится.

При α = 0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно сходится.

Интегральный признак. (Коши-Маклорена)

Пусть  - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при (начиная с некоторого x). Тогда ряд ~

Доказательство:

Лемма. Пусть An=a1+…+an — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда An<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно убывающая и ограниченная последовательность.

Тогда , или . Поэтому если  сходится, то

. Тогда   и ,  ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное , выберем  так, чтобы . Тогда . Значит,   сходится.


Пример. Вычислить интеграл