Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач казино онлайн

Математика задачи контрольной работы

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

  Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

  , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где ,

 ,

 ,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Ряды. Дифференциальные уравнения.

А=а1+а2+а3+…=

Определение: Числовой ряд – бесконечная упорядоченная сумма чисел.

Примеры рядов:

 Гармонический ряд.

 Дзета функция Риммана.

1-1+1-1+1-1+1-1+…

Аn=а1+а2+а3+…+аn – частичная сумма ряда.

{An}–последовательность частичных сумм.

Определение: Числовой ряд А сходится, если – сумма сходящегося числового рядя. Если, то ряд А расходится.

1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)

В целом по рядам существует несколко типов задач:

1) Исследование сходимости ряда.

2) Нахождение суммы.

Критерий Коши сходимости ряда.

" e>0 $ n0 , такое, что "n>m³n0: |An-Am|<e.

Тогда говорят, что последовательность An – фундаментальна.

An=a1+a2+…+an

Am=a1+a2+…+am, следовательно, An-Am=am+1+…+an

" e>0 $ n0, такое что "n>m³n0 => | am+1+…+an |<e.


Пример. Вычислить интеграл