Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций  непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

 

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:

  n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи

 где n=1,2,...

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

,

Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение  называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если  определяется равенством

, где  

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

   (n=1,2, . . .)

Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

Теорема:  Пусть

Доказательство:

 Докажем, что

Доказано.

Теорема об интегрировании функционального ряда.

Теорема:

Доказательство:

Теорема доказана.


Пример. Вычислить интеграл