Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Теорема достаточный признак сходимости ряда

Если сходится ряд, составленный из модулей слагаемых ряда ,

,

то сходится и сам ряд.

Доказательство. Поскольку , где  и , то , . Применяя признак сравнения для знакоположительного ряда, получаем сходимость ряда . Аналогично получаем сходимость ряда . Но тогда, согласно теореме о необходимом и достаточном условии сходимости, сходится ряд .

Понятия абсолютной и условной сходимости для комплекснозначных рядов вводятся аналогично уже рассмотренным.

Учитывая соотношение

,

можно утверждать, что если ряды  и  абсолютно сходятся (одновременно), то ряд  абсолютно сходится.

Поскольку  или , то можно утверждать, что если хотя бы один из рядов   и  условно сходится (или расходится), то сам ряд  условно сходится (или расходится).

ПРИМЕР 7. Исследовать поведение ряда

.

Общий член этого ряда  довольно трудно представить в виде суммы , поэтому использование теоремы о необходимом и достаточном условии сходимости затруднено.

Найдем . Ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда , сходится (можно доказать с помощью интегрального признака). Поэтому сходится абсолютно исходный комплекснозначный ряд.

ПРИМЕР 8. Ряд  сходится, так как ряды  и  сходятся. Но ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда , расходится (достаточно сравнить его с рядом ). Поэтому ряд условно сходится. Можно сделать этот вывод из условной сходимости ряда .

Тригонометрические ряды Фурье

, далее функция периодическая с периодом 2π.

Ряд Дирихле сходится при всех x.

 

нечетная функция, an=0

(signx)


Разложение функций в степенные ряды