Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

 Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника ,

2-ая гармоника ,

3-ая гармоника ,

4-ая гармоника ,

5-ая гармоника ,

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда

 Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

,

но при  не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :

(т.к.  см. разложение выше)

и случай когда n=-1:

 (т.к. )

 И вообще комплексная форма:

или

или

Признак Куммера.

Пусть , an>0 (" n³n0), и {bn} последов-ть чисел, bп>0 и

, и $, тогда, если δ>0, то ряд сходится, если δ<0, то ряд расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.

Доказательство:

1)δ>0, выберем e=δ/2 тогда, по определению предела,

bn*an/an+1-bn+1>δ-e=δ/2 "n³n0

обозначим cn=anbn-an+1bn+1>δ*an+1/2

и докажем сходимость ряда , так как cn=anbn-an+1bn+1= δ*an+1/2>0, то

anbn>an+1bn+1, значит, {anbn} монотонно убывающая, ограниченная нулём последовательность.

Sn = c1+…cn = (a1b1-a2b2)+(a2b2-a3b3)+…+(anbn-an+1bn+1) = 

= a1b1-an+1bn+1

значит, ряд  сходится,  тоже сходится (по признаку сравнения 1), т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A сходится.

2) δ<0 тогда,

bn*an/an+1-bn+1<0 => ,  "n³n0, значит

по условию ряд 1/bn – расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и исследуемый ряд A.


Пример. Вычислить интеграл