Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Разложение четной функции в ряд

Данную выше функцию сделаем четной(см. теорию), и рассмотрим ее на промежутке от 0 до   смотри рис.2

Рис.2

поэтому разложение по косинусу имеет вид:

  Из разложения видим что при n=2 дробь теряет смысл поэтому отдельно рассмотрим разложения первого и второго коэффициента суммы:

  На основе данного разложения запишем функцию в виде ряда:

и вообще

.

 Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника 

2-ая гармоника 

3-я гармоника

4-ая гармоника 

5-ая гармоника 

  А теперь рассмотрим сумму этих гармоник F(x):

Следствие 1 (признак Даламбера).

Возьмём bn=1, тогда

  

Если δ>0~l<1

δ<0~ l>1

Следствие 2 (признак Раабе)

Если , то  

Пусть bn=n

 ,  ,

обозначим α=δ+1, тогда , значит при α>1 (δ>0) ряд сходится, при α<1 (δ<0) расходится. 


Пример. Вычислить интеграл