Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:

 (1)

При q=0, уравнение называется однородным, q¹0 неоднородным.

y¢+py=q –дифференциальное уравнение первого порядка.

Обозначим левую часть уравнения (1) при q(x)=0 L(y)=>L(y)=0.

Отметим два свойства L(y).

L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)

L(Cy)=CL(y) => множество решений линейно однородного дифференциального L(y) = 0 есть линейное пространство.

Линейная зависимость функций

Функции y1,…,yn называются линейно зависимыми, если $ λ1,…,λn (|λ1|+…+|λn|¹0) такие что  соответственно функции называются линейно независимыми если не удовлетворяют уравнению (1) при любом .

Множество решений n-мерного дифференциального уравнения образуют базис, состоящий из линейно независимых функций.

Определитель Вронского.

Теорема 1:

Если функции y1(x),…,yn(x)(все функции и их производные непрерывны и существуют до n-1 го порядка) линейно зависимы, то =0.

Доказательство:

Так как функции линейно зависимы, то после дифференциирования получим:

  Эта система имеет ненулевое решение ó когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть определитель Вронского.

Если W¹0, то функции линейно независимы.


Пример. Вычислить интеграл