Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Линейные дифференциальные уравнения

Пример 1:

Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы.   

Рассмотрим произвольную точку x0>0.

Теорема 2: Пусть  решения уравнения  и   тогда

Следствие: если хотя бы в одной точке (a,b) тогда " x '(a,b) W(x)¹0 и функции  линейно независимы.

Доказательство:

Так как W=0 в x0, то  так как определитель =0 то его столбцы линейно зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит

Рассмотрим функцию y= L(y)=0, т.е. y- решение дифференциального уравнения. С условиями:  

Решение  удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет только одно решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x) º 0 и  – линейно зависимы => W = 0.

Пример 1:

y(n)=0 Решения:y1=1, y2=x, y3=x2,…,yn=xn-1

 

следовательно, функции линейно независимы.

Пример 2:

 Значит функции sinx и cosx линейно независимы.

Пример 3:

,


Пример. Вычислить интеграл