Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи контрольной работы

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка

L(y)= (1)

Предположим, что найдена ф.с.р. соответствующего однородного уравнения (L(y)=q(x)=0):

Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным пространством.

Теорема *: Пусть  - решение уравнения  (1). Тогда любое другое решение этого уравнения  имеет вид

, где  - решение уравнения , т.е. однородного.

Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной комбинации ф.р.

Y=y–y0 = , т.е. y = y0 +(общее решение неоднородного уравнения).

Нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного уравнения.

Метод вариации постоянных

Вернемся к неоднородному уравнению  (1). Предположим, что мы можем найти фундаментальную систему решений  соответствующего однородного уравнения  (2). Тогда, любое решение  этого уравнения имеет вид: . Предположим также, что нам удалось найти некоторое решение  уравнения (1). По теореме *, любое решение  этого уравнения имеет вид: (3). Итак, для нахождения всех решений уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение . Для этого можно использовать метод вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде  (4), где  - фундаментальная система решений уравнения (2).

Тогда:

 (домножаем и складываем уравнения.)

Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки, равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль, но в последнем будет q(x).

 Но это равенство выполняется только в случае выполнения принятой нами системы условий, т.е. если найдены функции Сk (x), удовлетворяющие этой системе условий(*), то функция y0 есть частное решение неоднородного уравнения.

Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель Вронского. Для того, чтобы отыскать  следует воспользоваться системой (*), рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных   с определителем .

≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.

 интегрируем и находим искомые C1,…,Cn.

Пример:

 

 

  Вычтем одно уравнение из другого:  

 

 –частное решение неоднородного уравнения

 –общее решение неоднородного уравнения.


Пример. Вычислить интеграл