Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Теоремы о свойствах суммы равномерно сходящихся функциональных рядов

ТЕОРЕМА (об ограниченности)

Пусть . Тогда если 1)  на ; 2) , то  – ограниченная на множестве  функция.

Доказательство. Из равномерной сходимости ФР к  на множестве  имеем

 на ,

т.е. .

Из ограниченности каждого слагаемого ФР имеем  на множестве , отсюда при  имеем  на множестве .

Замечание. Если ФР состоит из ограниченных на множестве  функций, а сумма его не является ограниченной на , то сходимость ряда не может быть равномерной. Например, ФР  (см. пример 1) на   сходится поточечно, но не равномерно.

ТЕОРЕМА (о непрерывности)

Пусть . Тогда если 1)  (функция  непрерывна на ); 2) , то сумма  ФР непрерывна на , т.е. .

Доказательство. Функция непрерывна на , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пусть  – произвольная точка интервала . Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда

.

Рассмотрим

.

Оценим каждую разность.

(*) Поскольку , то имеем

сразу для всех значений , в частности, при  . Возьмем значение  конкретным (фиксированным), .

(**) Функция  – сумма конечного множества непрерывных на  функций – является непрерывной на , т.е. непрерывной в каждой точке этого интервала, в частности, непрерывной в точке . Поэтому имеем

.

Окончательно получаем (для выбранного номера )

.

Замечания. 1. В условиях теоремы (о непрерывности) выполнено равенство , т.е. правомочна операция предельного перехода в ФР.

2. Теорема (о непрерывности) задает только достаточные условия непрерывности суммы ряда. Существуют ФР, у которых сумма ряда есть непрерывная функция, хотя сам ряд не является равномерно сходящимся. Более того, существуют ФР, составленные из разрывных функций, сумма которых есть функция непрерывная.

3. Если ФР состоит из непрерывных на некотором множестве функций, а сумма его – разрывная функция, то, очевидно, ряд не является равномерно сходящимся на рассматриваемом множестве.


Разложение функций в степенные ряды