Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Критерий Коши (для числового ряда):

, ( – сходится)

 (, )

(),

т.е. для всякого положительного числа , можно указать номер   такой, что "отрезок" ряда "длиной ", начиная с элемента , по абсолютной величине меньше  (выполняется условие Коши).

Критерий Коши формулирует необходимое и достаточное условия сходимости (или расходимости ряда). Пользоваться им трудно, поэтому приходится рассматривать отдельно необходимые и отдельно достаточные условия сходимости числовых рядов.

Необходимый признак сходимости

, ( – сходится)  ,

т.е. если ряд сходится, то предел его -го члена существует и равен нулю; обратное утверждение неверно (приведем контрпример).

Доказательство. Пусть ряд  – сходится. Тогда выполняется условие Коши:

  ;

в частности, при    , отсюда (по определению предела последовательности) имеем .

Контрпример. Гармонический ряд

.

Хотя , ряд расходится.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда):

,

т.е. если предел -го члена ряда существует и не равен нулю, то ряд расходится.

Например, ряды , ,  – расходятся (сумма каждого из них не может быть конечной).

Применение критерия Коши позволяет обосновать свойства рядов (рекомендуем провести самостоятельно) ([1] – [4]).

Некоторые свойства сходящихся рядов

1. Для произвольного ряда  ряд  называется остатком ряда ("начиная с ").

Ряды  и  сходятся и расходятся ОДНОВРЕМЕННО.

2. Если ряд сходится, то добавление или отбрасывание КОНЕЧНОГО множества слагаемых не изменяет сходимости "нового" ряда.

3. Для всякого ряда верно представление .

Если ряд  сходится и , то .

4. Ряды  и  сходятся и расходятся одновременно. В случае сходимости рядов имеем  ( – произвольная постоянная).

5. Если ряды  и  сходятся, то ряд  также сходится, и сумма получается сложением сумм исходных рядов. Обратное утверждение неверно.

Свойства 4 и 5 следуют из соответствующих теорем для последовательностей.

Установление поведения ряда желательно уметь проводить по информации о слагаемых ряда; при этом для конкретного типа рядов информативность выше.


Разложение функций в степенные ряды