Степенные ряды
ПРИМЕР 1. Найдем область сходимости степенного ряда 
, используя известную структуру его
области сходимости.
Решение. Здесь 
; по формуле
; при 
ряд 
расходится; при 
ряд 
сходится (условно).
Итак, область сходимости ряда есть промежуток 
, или 
, или 
.
(**) В некоторых степенных рядах показатели степеней аргумента расположены
не подряд, а по какому-то закону, например 
, 
и т.д. с нулевыми слагаемыми. В этом случае радиус сходимости
вычисляем, исходя из общих соображений.
Замечания. 1. Случаи 
и 
допустимы, например, для ряда 
область сходимости состоит из точки 
(); для ряда 
область сходимости 
соответственно .
2. Для степенного ряда в 
, т.е. для рядов 
и 
, где 
, 
– комплекснозначная числовая последовательность, ТЕОРЕМА
АБЕЛЯ имеет место. Область сходимости есть круг сходимости 
или 
с возможно присоединенными точками, лежащими
на окружности 
или 
. Нахождение 
проводится аналогично, но соответствующие ряды строятся
"из модулей" слагаемых.
ПРИМЕР 2. Найти и построить круг сходимости степенного ряда 
.
Решение. Задан смещенный степенной ряд при 
и 
.
Тогда 
.
Итак, круг сходимости 
есть множество всех точек круга (без границы) с центром
в точке 
и радиусом длиной 
(см. рисунок).
Замечание. Степенные ряды применяются для задания функций (их сумм), а также для приближенных вычислений, использующих представление функций степенными рядами. Для решения этих задач нужно уметь устанавливать свойства сумм степенных рядов, гарантированных равномерной сходимостью рядов.
Пример:
Замена: y = UV 
Так как ищем одно любое
решение, то при интегрировании не надо добавлять константу: 
Подставим в исходное уравнение: 
Следовательно,
Этот метод применим и
для нелинейного уравнения: 
,
где к– константа
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы
она удовлетворяла условию: 
Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению,
например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение 
из последнего уравнения интегрированием
находим U, а затем уже зная V(x) находим у.