Степенные ряды
ПРИМЕР 1. Найдем область сходимости степенного ряда
, используя известную структуру его области сходимости.
Решение. Здесь
; по формуле
; при
ряд
расходится; при
ряд
сходится (условно).
Итак, область сходимости ряда есть промежуток
, или
, или
.
(**) В некоторых степенных рядах показатели степеней аргумента расположены не подряд, а по какому-то закону, например
,
и т.д. с нулевыми слагаемыми. В этом случае радиус сходимости вычисляем, исходя из общих соображений.
Замечания. 1. Случаи
и
допустимы, например, для ряда
область сходимости состоит из точки
(
); для ряда
область сходимости
соответственно
.
2. Для степенного ряда в
, т.е. для рядов
и
, где
,
– комплекснозначная числовая последовательность, ТЕОРЕМА АБЕЛЯ имеет место. Область сходимости есть круг сходимости
или
с возможно присоединенными точками, лежащими на окружности
или
. Нахождение
проводится аналогично, но соответствующие ряды строятся "из модулей" слагаемых.
ПРИМЕР 2. Найти и построить круг сходимости степенного ряда
.
Решение. Задан смещенный степенной ряд при
и
.
Тогда
.
Итак, круг сходимости
есть множество всех точек круга (без границы) с центром в точке
и радиусом длиной
(см. рисунок).
Замечание. Степенные ряды применяются для задания функций (их сумм), а также для приближенных вычислений, использующих представление функций степенными рядами. Для решения этих задач нужно уметь устанавливать свойства сумм степенных рядов, гарантированных равномерной сходимостью рядов.
Пример:
Замена: y = UV
Так как ищем одно любое решение, то при интегрировании не надо добавлять константу:
Подставим в исходное уравнение:
Следовательно,
Этот метод применим и для нелинейного уравнения:
, где к– константа
Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя получаем
Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:
Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение
из последнего уравнения интегрированием находим U, а затем уже зная V(x) находим у.
Разложение функций в степенные ряды |
|