Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.

ПРИМЕР. Для  его первообразная

, ; .

Задача 4. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях основано на замене точного значения суммы ряда (обычно неизвестном) на его частичную сумму, т.е. , с соответствующей оценкой погрешности этой замены (см. задачи к разделу 1).

Иногда вычислить значение функции  в точке , где  – достаточно малое, можно, применяя фактически формулу Тейлора, т.е. . Оценка погрешности может быть проведена по остаточному члену формулы Тейлора , где значение  расположено между  и .

ПРИМЕР. Вычислить , взяв  в соответствующем разложении в степенной ряд функции .

Решение. Преобразуем выражение к виду, позволяющему использовать биномиальный ряд, а именно

; при ,  имеем

.

Отсюда  с погрешностью, не превышающей значения .

Итак, вычислили  с погрешностью .

ПРИМЕР. Вычислить приближенно значение интеграла  с погрешностью .

Решение. Имеем

.

После интегрирования получаем

.

Поскольку ряд знакочередующийся, то . Потребуем ; подберем , удовлетворяющее неравенству . Итак,

; отсюда   с .

Пример:

 =>

Теорема: Пусть

и ; тогда

Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим:

Теорема доказана.


Разложение функций в степенные ряды