Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

ФКП

ПРИМЕР 1. Вычислить приближенно .

Решение. Имеем

 

(схематично изображено на рисунке точкой ; ;

.

ПРИМЕР 2. Найти образ при  1) прямой , ; 2) прямой , .

Решение. Пусть  и , т.е. , . Тогда всякая точка  на  – плоскости отображается функцией  в точку  на   – плоскости.

1. На прямой  точки имеют координаты , поэтому они отображаются ФКП  в точки с координатами  расположенные на окружности .

2. На прямой  каждая точка имеет координаты ,  – любое, и отображается в точку с координатами  они расположены на луче .

Таким образом, с помощью  прямолинейная прямоугольная "сетка" на плоскости , образованная двумя семействами прямых ,  ( и  – например, целые числа), отображается в совокупность окружностей и лучей, образующих криволинейную "прямоугольную" сетку на плоскости . Линии этой "сетки" можно рассматривать, как координатные линии соответствующей криволинейной системы координат. В нашем случае – полярной системы координат , где , .

Свойства  и

1. При  функции  и  представляются рядами Тейлора, известными ранее; говорят, что ФКП  и  получены в результате (аналитического) продолжения на  – плоскость соответствующих функций действительной переменной.

2.  – нечетная,   – четная ФКП на  – плоскости.

3. ,   – периодические ФКП с множеством периодов , ;  – наименьший положительный период.

4. Можно показать, что справедливы все формулы тригонометрии для тригонометрических функций ФКП.

5.  при , ;  при , ; нули ФКП  и  расположены на оси  и совпадают с нулями  и  (на оси )

В самом деле,

 Аналогично для .

6. Функции  и  не являются ограниченными на  – плоскости; например, при  имеем  и при  , т.е. .

7. Имеет место равенство

,

аналогичное так называемому "первому замечательному пределу" в действительной области.

Итак, снова не все свойства функций  и  сохраняются для ФКП  и  (например, нельзя говорить о геометрических свойствах функций, в частности, об ограниченности), появляются новые свойства. Так, формулы Эйлера – связи тригонометрических функций и показательной функции – не имеют аналогов в действительном анализе.

ПРИМЕР 3. Доказать формулу

.

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера, получаем

.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

Решение. Аналогично (см. пример 3) можно вывести формулу , пользуясь которой получаем

 

(значение синуса больше единицы!).

Функции ,  вводятся через  и ; их свойства анализируются с использованием свойств   и .


Разложение функций в степенные ряды