Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Из сходимости тригонометрического ряда (4) имеем  или . Интуитивно ясно, что равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей  и  при .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  –периодическая функция и для нее существуют интегралы, определяющие числа . Тогда члены последовательностей  и  называются коэффициентами Фурье (Фурье – Эйлера) функции , а тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции , называется тригонометрическим рядом Фурье функции  (сокр. ТРФ функции ).

ТРФ функции  может сходиться на  к , может сходиться на , но не к , может быть расходящимся.
Поэтому до тех пор, пока не изучено поведение этого ряда, нельзя ставить знак "=" между функцией и ее ТРФ. Будем записывать

и говорить "функция  порождает тригонометрический ряд
Фурье".

ПРИМЕР 1. Пусть  – периодическая функция  задана на  соотношением

 и представлена схематично графиком. Построим ТРФ функции .

Решение. Функция  является интегрируемой на , так как она кусочно постоянная на . Очевидно, .

Используя формулы, получаем ;

;

.

Поэтому .

Замечание. 1. Последовательность тригонометрических функций

в дальнейшем будем записывать в виде  и

называть системой тригонометрических функций или тригонометрической системой (ТС). Формулы (5), а также

;

;

выражают свойства ортогональности этой системы функций: на
отрезке периодичности интеграл от произведения каждой пары
различных функций равен нулю, а интеграл от квадрата каждой функции нулю не равен.

2. Условия теоремы не являются достаточными для разложимости функции   в тригонометрический ряд, т.е. для произвольно взятой –периодической функции равенство (4) может не выполняться, хотя коэффициенты Фурье этой функции, вычисляемые по формулам (6) – (8), существуют.

ТРФ существует не только для непрерывной на  
функции. Он может существовать и для функций, имеющих точки разрыва.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция  называется кусочно-непрерывной на , если можно указать такое разбиение отрезка  на
конечное число промежутков, что на каждом промежутке функция  непрерывна и существуют конечные лево- и правосторонний пределы функции  в каждой точке разбиения.

График кусочно-непрерывной функции состоит из конечного числа непрерывных дуг. Точки разрыва кусочно-непрерывной функции – обязательно точки разрыва первого рода, причем на  – их
конечное число. По свойствам определенного интеграла кусочно-непрерывная на  функция является интегрируемой на  функцией.

В общем случае для существования ТРФ –периодической функции   обычно предполагают функцию  абсолютно-интегрируемой на , т.е. такой, что интегралы
 и  существуют (имеют конечные значения) в собственном или несобственном смыслах. Заметим, что множество всех абсолютно интегрируемых на  функций не исчерпывается множеством всех непрерывных и кусочно-непрерывных на  функций.

3. Если функция  не является периодической и задана лишь на , то можно ввести периодическое продолжение этой функции на всю числовую ось, т.е.  – периодическую функцию , определенную на , и такую, что  на .
ТРФ функции  и является ТРФ функции  на .

Если , то построение периодического продолжения   не вызывает затруднений. Но если же , то построить  можно, лишь изменив значение функции  либо при , либо при . Такое изменение допустимо, поскольку изменение значений функции на конечном множестве точек отрезка  не влияет на значение интегралов в формулах (6) – (8), т.е. не влияет на вид ТРФ функции .

Но можно поступить иначе: будем считать, что  является
–периодическим продолжением функции , заданной на  – промежутке периодичности функции .


Разложение функций в степенные ряды