Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть  – множество точек числовой оси, симметричное относительно . Тогда функция , определенная
на , называется четной на  функцией, если выполнено условие

;

нечетной на  функцией, если выполнено условие

.

Напомним некоторые свойства четных и нечетных функций.

1. Произведение двух четных на  функций есть функция,
четная на ; произведение двух нечетных на  функций есть функция, четная на ; произведение четной на   функции на функцию, нечетную на , есть нечетная на  функция.

2. Если четная на   функция  интегрируема на , то справедливо равенство

.

3. Если нечетная на   функция  интегрируема на , то справедливо равенство

.

Эти свойства упрощают нахождение коэффициентов Фурье функции, превращают ТРФ в ряд, содержащий только либо косинусы, либо только синусы кратных дуг.

Пусть –периодическая функция  – четная на . Тогда функция  – также четная на , функция  – нечетная на . Поэтому коэффициенты Фурье четной на  функции имеют вид

, , . (11)

Для четной на  функции ТРФ имеет вид

, (12)

содержит только косинусы углов и постоянную составляющую.

Пусть –периодическая функция  – нечетная на .
Тогда функция   – нечетная на ,  – четная на . Поэтому коэффициенты Фурье нечетной на  функции имеют вид

. (13)

Для нечетной на  функции ТРФ

 (14)

содержит только синусы углов.

 

ПРИМЕР 8. Разложить в ТРФ функцию . Пользуясь этим разложением, вычислить сумму ряда .

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле на . Период функции , она является четной; согласно (11) имеем  

.

Итак, получаем разложение

.

Отсюда при   имеем

 или .

ПРИМЕР 9. Разложить в ТРФ периодическую функцию , , если , .

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, является нечетной на .
Поэтому она разложима в ТРФ вида (15) при , причем ;  ,

.

Итак, имеем ; в точках разрыва сумма ряда равна нулю.


Разложение функций в степенные ряды