Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Теорема необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда – через "ограниченность" частичных сумм

; .

Доказательство. () Пусть  – сходится; поскольку , имеем  – возрастающая последовательность, имеющая конечный предел, т.е.  – конечное число : , получаем , т.е.  – ограниченная последовательность.

() Пусть теперь   – ограниченная последовательность ; тогда в силу знакоположительности слагаемых ряда   возрастает (оставаясь ограниченной сверху). По соответствующей теореме для числовых последовательностей получаем  : , причем .

ТЕОРЕМА (сравнение знакоположительных рядов)

Пусть ; .

Пусть

Тогда ;

 .

Доказательство рекомендуем провести самостоятельно, используя определение сходимости и расходимости рядов и соответственно последовательностей.

Для изучения поведения числового ряда иногда можно подобрать "оценочный" ряд с известным поведением, по которому устанавливается сходимость или расходимость исходного ряда.

ПРИМЕР 5. Ряд  

, т.к. .

Ряд  – расходится, по теореме сравнения исходный ряд  тоже расходится (можно получить результат, применяя необходимый признак сходимости).

ПРИМЕР 6. Для ряда  оценочный ряд построим, используя неравенство   . Получим  (по формуле суммы всех членов убывающей прогрессии ).

ТЕОРЕМА (сравнение знакоположительных рядов в предельной форме)

Для произвольных знакоположительных рядов  и , если

существует конечный предел , причем , то ряды

 и   сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела имеем

,

т.е.  .

Пусть ряд  сходится, тогда по теореме (о сравнении) ряд   также сходится, здесь в силу произвольности выбора  и условия  можно взять . По свойствам сходящихся рядов ряд  сходится.

Пусть ряд  расходится, тогда по теореме (о сравнении) из неравенства   получаем расходимость

ряда  и расходимость ряда .

Аналогично можно получить утверждения, исходя из сходимости или расходимости ряда  (рекомендуем проделать самостоятельно).


Разложение функций в степенные ряды