Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

ПРИМЕР Для функции предыдущего примера построить ее частотные спектры.

Решение. Так как , то совокупность чисел  задает амплитудный частотный спектр функций (см. рисунок), число  играет роль единицы масштаба.

На рисунке видна положительность,

 симметричность и асимптотичность

спектра относительно оси .

Фазовый частотный спектр рассматриваемой функции найдем из соотношения

, где 

; т.е. .

На рисунке видна симметричность спектра относительно точки  и его ограниченность.

В заключение несколько слов о так называемом практическом гармоническом анализе, т.е. о задаче практического нахождения коэффициентов Фурье функции.

Трудность осуществления гармонического анализа состоит в том, что не всегда определенные интегралы от функций  и  даже для  относительно простого вида выражаются через элементарные функции. Иногда вычисления этих интегралов сопровождаются громоздким счетом. В этих случаях приходится прибегать к приближенному вычислению коэффициентов Фурье функции, т.е. применять методы численного интегрирования.

Если задача гармонического анализа решается для функций,
заданных не аналитически (не формулами), например для функций, полученных эмпирически и заданных таблично, то применяются
специальные алгоритмы приближенного вычисления коэффициентов Фурье этих функций [6].

V. УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА к главам X – XV

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Т. II. М.: Наука, 1976.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1991.

3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. II. М.: Высш. школа, 1980.

4. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1975.

5. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной
переменной. М.: Наука, 1967.

6. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1979.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981.

9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учебное пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1983.

10. Табуева В.А., Янкелевич И.Н. Высшая математика. Ряды в комплексной области: Учебное пособие. Свердловск: изд. УПИ, 1982.

11. Табуева В.А., Янкелевич И.Н. Дифференцирование функции комплексной переменной: Методические указания к решению задач по курсу "Высшая математика". Екатеринбург: УПИ, 1992.

12. Табуева В.А., Быкова Н.В., Бареева Г.Н. Высшая математика.
Ряды Фурье. Интеграл Фурье: Учебное пособие. Свердловск: изд. УПИ, 1982.


Разложение функций в степенные ряды