Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Понятие функции комплексной переменной. Простейшие свойства определение ФКП

Если каждому значению комплексной переменной    из множества  расширенной комплексной
 – плоскости по правилу  соответствует комплексное число   из множества  расширенной комплексной – плоскости, то   есть комплексная (или комплекснозначная) функция комплексной переменной (сокр. ФКП);
 – область определения,  – множество значений ФКП  .

Если каждому значению  соответствует единственное значение , то ФКП   называется однозначной,
в остальных случаях ФКП называется многозначной.

К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная, тригонометрическая, гиперболические; функции,
обратные к указанным. Функции, получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий, действий
возведения в целую степень и извлечения корня ""–й степени, обычно тоже называют элементарными.

Для многозначной ФКП можно выделять однозначные ветви функции, например, для ФКП  при каждом конкретном значении .

Область определения ФКП может быть различной структуры.

Задание ФКП  на множестве  эквивалентно одновременному заданию двух действительнозначных функций двух
действительных переменных:

, (1)

где , , , .

Заметим, что вместо символа  часто используется символ .
В нашем тексте эти символы не различаются.

ФКП ,  не имеет графика. Геометрическую иллюстрацию задания ФКП обычно связывают со свойствами отображения точки  в точку  по правилу ;  – образ точки ,  – прообраз точки .

Если точка  описывает кривую  в – плоскости и точка ,  описывает кривую , то  есть образ  при отображении .

Установлено [1], что для простейших однозначных ФКП образ границы области есть граница образа области, при этом для образа области сохраняется ориентация его границы. Поэтому для нахождения образа области   при отображении   определяем в
 – плоскости сначала образ границы области , а затем устанавливаем образ самой области .

Задание

1. Выделить  и , если ; найти образ точки  при этом отображении.

Ответ: , , .

2. Найти образ прямой   при отображении .

Ответ: ,  – мнимая полуось.

3. Найти образ круга   при отображении   .

Ответ: .

4. Показать, что при отображении  область  переходит в полуплоскость .

16.2. ПРЕДЕЛ ФКП В ТОЧКЕ

Понятия предела ФКП в точке и непрерывности в точке
(на множестве) определяются аналогично соответствующим понятиям для действительнозначной функции действительного аргумента.

Пусть ФКП  определена и однозначна в окрестности точки   за исключением, быть может, самой точки .

Число  называется пределом ФКП  в точке , , если для всякой –окрестности числа  в
– плоскости –   существует такая –окрестность числа  – , что для каждого числа   из  образ  принадлежит , т.е.

.

Это определение имеет место для  и  как конечных, так и бесконечных. Для конкретного использования определения нужно расшифровать  и  (см. [18]).


Разложение функций в степенные ряды