Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Показать по определению .

Решение. Здесь . Имеем случай конечного предела в конечной точке , поэтому по определению имеем

 .

1) Возьмем .

2) Ищем  так, чтобы из неравенства  следовало .

3) Для нахождения  выясним, для каких значений  
выполняется неравенство

, т.е. если , то требуемое неравенство   выполняется.

Справедлива теорема:

Функция  в точке  имеет предел  (, ) тогда и только тогда, когда в точке  функции   и  имеют соответственно пределы

 и .

Эта теорема устанавливает эквивалентность условий существования пределов ФКП  и функций ,  в соответствующей точке. Именно поэтому теория конечного предела ФКП строится аналогично теории предела действительных функций двух действительных переменных (условия существования; арифметика функций, имеющих конечные пределы в одной и той же точке; формальные правила и методы вычисления пределов и т.д.).

ПРИМЕР 2. Показать, что ФКП  при   не имеет
предела.

Решение. . Рассмотрим функцию   при условии  для , где . На лучах  () функция  принимает вид  и при  (а значит, и ) стремится к различным пределам, зависящим от , т.е. не имеет единого предела.

Итак,  не имеет предела в ; согласно теореме ФКП  также не имеет предела при .

ФКП  называется ограниченной на множестве , если  – ограниченная на  функция, т.е. можно указать число  такое, что для всех  выполняется неравенство .

Поведение ФКП  в окрестности  точки  определяется пределом   при . Если при   имеет конечный предел, то она локально ограничена. Если , то ни в какой из окрестностей точки  ФКП  не является ограниченной. Если же предел ФКП  при  не существует, то поведение функции вблизи точки  неопределенное.

Задание

1. Показать по определению , т.е. .

Ответ: для   находим  такое, что
,  .

2. Показать по определению .

Ответ:  при , а при  (, т.е. .

16.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФКП В ТОЧКЕ, НА МНОЖЕСТВЕ

Однозначная ФКП  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и имеет конечный предел в точке , равный значению функции в этой точке, т.е. .


Разложение функций в степенные ряды