Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП   непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций  и  непрерывна в точке (на множестве) как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.

Многочлен ,  ( – степень многочлена) также есть ФКП непрерывная всюду на –плоскости. Дробно-рациональная ФКП  (отношение двух многочленов) непрерывна всюду на своей области определения. Нули знаменателя, очевидно, не являются точками непрерывности  (их называют точками разрыва). Поскольку точек разрыва дробно-рациональной функции не более "" (конечное множество), то каждая точка разрыва – изолированная точка, т.е. можно указать окрестность точки разрыва, не содержащую других точек разрыва ФКП.

ПРИМЕР 3. Изучить поведение функции  в точках разрыва.

Решение.  – дробно-рациональная функция, имеет точки разрыва  и . Чтобы изучить поведение функции в окрестности точки разрыва, нужно вычислить предел ее в этой точке.

Поскольку  для всякого  и , то при  , т.е.  – локально ограничена (ограничена в окрестности точки ).

В окрестности , , имеем . Для всякого  можно
указать , например  такое, что   при всяком  .

Итак, , т.е.  – ФКП не ограниченная во
всякой окрестности точки .

Если , где  и  – произвольные ФКП,
то множество точек разрыва функции  состоит из точек разрыва функций  и , а также нулей знаменателя.

ПРИМЕР 4. Найти точки разрыва функции .

Решение. Числитель   – ФКП, имеющая точки разрыва ; каждая из них – изолированная точка разрыва.
Знаменатель обращается в ноль при , т.е. каждая точка гиперболы – точка разрыва функции, причем неизолированная точка.

В теории ФКП используется определение непрерывности ФКП в точке "через приращения".

Пусть  определена в некоторой окрестности  точки . Тогда приращение аргумента есть

,

а соответствующее приращение функции  в точке  имеет вид:

,

т.е. . (2)

ФКП  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда выполняется равенство  (3)

или соответственно выполняются одновременно равенства

.

Задание

Изучить поведение функции  в окрестности ее точек разрыва:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) при    – локально ограниченая ФКП; б) при  ; в) в окрестности   – неограниченая ФКП.

16.4. КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

Пусть для ФКП , , где  – действительная переменная (скалярный аргумент), . Тогда функция  есть комплексная функция скалярного аргумента;  и  – действительные функции аргумента , . Функция , , отображает числовое множество   оси  на комплексную –плоскость.

Если –промежуток, а функции  и  – непрерывные на  функции, то точки , , образуют на –плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид .

Комплексные функции скалярного аргумента   используются для задания кривых на –плоскости, при этом дуга предполагается ориентированной соответственно изменению параметра , либо , либо  (на кривой указывается направление движения точки  с изменением ), здесь  и  – концы промежутка . Если ,
то функция  задает контур; контур считается ориентированным положительно, если при обходе по контуру ограниченная им область остается слева.


Разложение функций в степенные ряды