Пример. Показать, что ФКП
всюду дифференцируема; вычислить производную ФКП.
Решение. Имеем
,
. Функции
,
,
,
– непрерывны всюду на плоскости
. Условия (4) легко проверяются для всех точек
. Поэтому ФКП
всюду на
–плоскости дифференцируема, причем
. Получили формулу для производной показательной ФКП, аналогичную формуле производной показательной функции в действительной области.
ПРИМЕР 3. Проверить дифференцируемость при любых
ФКП
при каждом конкретном значении
; доказать формулу
.
Решение. Имеем
,
, где
вычисляется по правилу
Функции
,
,
,
являются непрерывными всюду, кроме
. Условия (4) выполнены также всюду, кроме
, т.е. каждая ветвь ФКП
дифференцируема для любого
. По формуле (5) имеем
(
).
Заметим, что аналогичными рассуждениями можно показать дифференцируемость в области определения тригонометрических и гиперболических ФКП, а также однозначных ветвей обратных ФКП для них; причем значения производных этих функций находятся по формулам, аналогичным для соответствующих функций в действительной области:
;
;
;
;
;
, (6)
;
и т.д.
ПРИМЕР 4. Показать, что ФКП
не дифференцируема ни в одной точке
.
Решение. Имеем
, т.е.
и
.
Функции,
,
,
всюду непрерывные, но условия (4) дифференцируемости ФКП не выполняется ни в одной точке, поэтому
нигде не дифференцируемая ФКП.
ПРИМЕР 5. Для ФКП
имеем
,
. Функции
,
,
,
всюду непрерывные, условия (4) выполняются только в точке
. Поэтому
является ФКП, дифференцируемой только в точке
.
Еще раз подчеркнем, что если ФКП не является непрерывной в точке, то и дифференцируемой она не может быть в этой точке. Но и непрерывная в точке ФКП не всегда является дифференцируемой в этой точке функцией, даже если частные производные действительных компонент ее непрерывны – обязательно должны выполняться условия Коши – Римана.
Задание
1. Проверить дифференцируемость ФКП
всюду при
; показать, что
.
2. Доказать дифференцируемость всюду на
–плоскости ФКП
,
,
,
; вывести формулы для производных этих функций.
3. При каких значениях
и
ФКП
дифференцируема всюду?
Ответ:
,
, т.е.
.
Разложение функций в степенные ряды |
|