Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте

Действительная функция  называется гармонической в области , если она в этой области удовлетворяет условиям:

1)  – непрерывна вместе с частными производными первого и второго порядка;

2)  – решение уравнения .

Справедлива теорема (см. [1]):

если ФКП   аналитическая в области ,
то ее действительные компоненты  и  являются гармоническими функциями в области .

Это означает, что аналитическую ФКП можно "построить" в виде  только из гармонических функций  и . Но не любая пара гармонических функций образует аналитическую ФКП. Например, каждая из функций  и  является гармонической всюду (легко проверить по определению), но  не является аналитической ФКП, так как не выполнены условия Коши – Римана (4).

Важным свойством аналитической ФКП является следующее:

если известна только действительная (мнимая) часть ФКП , аналитической в односвязной области   функции, то с точностью до произвольной постоянной может быть найдена и сама ФКП .

В самом деле, пусть известна  (
гармоническая функция в некоторой области ). Чтобы "восстановить" , нужно найти . Полный дифференциал функции  есть . (8)

Поскольку ищем аналитическую в области ФКП , то для нее в этой области должны выполняться условия Коши – Римана, а поэтому  в (8) может быть представлен в виде

,

причем, так как   известна, то известно выражение и для .

Задача восстановления функции  по известному ее
полному дифференциалу рассматривалась ранее.

ПРИМЕР 8. Проверить, что функция  является гармонической на –плоскости. Восстановить  так, чтобы  .

Решение. 1) , , отсюда  на плоскости , т.е.
  – гармоническая.

2) , поэтому для  имеем из условий Коши – Римана  или .

Восстанавливаем . Окончательно
получаем  или , т.е. .


Разложение функций в степенные ряды