Интеграл ФКП определение и свойства интеграла ФКП
Пусть ФКП
определена в точках несамопересекающейся дуги
, расположенной в
–плоскости. Дуга
ориентирована от точки
к точке
, причем точка
соответствует
, точка
![]()
.
Рассмотрим произвольное разбиение дуги
системой точек
такое, что
,
и
упорядочены по длине дуги от точки
до конечной точки разбиения
.
Выберем на дуге
произвольную систему точек
так, чтобы точка
лежала на дуге между точками
и
(см. рисунок).
Сумма
, где
, называется интегральной суммой функции
по дуге
, соответствующей разбиению
и выбору точек системы
, ее значение зависит от разбиения
и выбора точек
.
Обозначим
– диаметр разбиения.
Интегралом ФКП
по дуге
называется число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое
и равное пределу интегральной суммы функции
при
, независимое от разбиения
и выбора точек системы
, т.е.
. (1)
Доказано (см. [2]), что для непрерывной на дуге
ФКП
и кусочно-гладкой дуги
интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.
СВОЙСТВА интеграла
Если в выражении
выделить действительную и мнимую части, то из существования интеграла (1) следует существование пределов этих частей, и интеграл (1) представится в виде суммы двух криволинейных интегралов 2 рода по дуге
, а именно:
, (2)
где
,
,
,
.
Поэтому свойства криволинейных интегралов 2 рода (по координатам) переносятся на интеграл ФКП (1). Отметим из них следующие:
1)
(аддитивность по функции);
,
(аддитивность по дуге);
,
(однородность);
– смена знака значения интеграла при
изменении ориентации дуги.2)
, (
на
).
3) Если дуга
– контур, т.е.
, то интеграл ФКП по контуру
обозначается
. Если
, то интеграл называется несобственным интегралом.
4) Оценка интеграла ФКП проводится по формуле
, (3)
если
ограничена на
, т.е. существует число
такое, что
на
;
– длина дуги
.
5) Если дуга
задана параметрически
т.е.
,
, то вычисление интеграла (1) проводится с помощью вычисления соответствующих криволинейных интегралов (2) сведением к определенному интегралу
с использованием уравнений дуги:
. (4)
Позднее будут рассмотрены другие способы вычисления интеграла ФКП по дуге и по контуру.
6)
, так как на окружности
имеем
,
и
. (5)
Вычисления интегралов ФКП, рассмотренные далее, используют указанные свойства интегралов.
Пример. Вычислить интеграл |
|