Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Интегрирование аналитической ФКП. Теорема Коши

Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).

Пусть  – однозначная аналитическая в односвязной области  ФКП, дуга . Тогда интеграл  зависит только от начальной и конечной точек дуги и может быть вычислен по формуле, аналогичной формуле Ньютона–Лейбница для определенного

интеграла:

,

где   – первообразная ФКП для , т.е.  в области .

Заметим, что первообразные элементарных ФКП вычисляются по тем же формулам, что и первообразные для соответствующих функций действительной переменной.

ПРИМЕР 4. Вычислить , где  – произвольная кривая, соединяющая точки  и .

Решение. Подынтегральная функция  – аналитическая всюду на –плоскости ФКП, поэтому можно записать  (значение интеграла не зависит от выбора дуги ). Интегрируя по частям, получаем

. (6)

Интегрирование аналитической ФКП по контуру (замкнутой дуге) обычно проводится с использованием теоремы Коши (см. [1]):

если   – однозначная аналитическая ФКП в односвязной области , то интеграл функции  по любому контуру, расположенному внутри области , равен нулю, т.е.

 (7)

(теорема верна и для случая, когда  – граница области , а  непрерывна на ).

Заметим, что если условие аналитичности функций нарушается хотя бы в одной точке внутри контура, то интеграл этой функции по контуру, "охватывающему" особую точку функции, может быть не
равен нулю.

Теорема Коши обобщается на многосвязную область:

если   – аналитическая ФКП в области , ограниченной внешним контуром  и внутренними контурами , а также аналитическая на
самих контурах и все контуры предполагаются простыми и ориентированными одинаково (см. рисунок), то значение интеграла по внешнему контуру равно сумме значений интегралов по внутренним контурам, т.е.

. (8)

Заметим, что если ФКП  аналитическая в  – окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , то интеграл   по контуру , охватывающему точку  и расположенному в , не зависит от формы контура, т.е.

. (9)

Поэтому в дальнейшем в качестве контуров интегрирования
берем, как правило, окружности или контуры достаточно простого строения.


Пример. Вычислить интеграл