Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач http://www.smotret-film-online.info/

Математика функции комплексной переменной

Пример. Вычислить интеграл ,  – целое.

Решение. Если , то  всюду аналитическая ФКП, и по теореме Коши   при произвольном контуре  и
любой точке .

Если  – целое и , а контур  не охватывает точку , то  расположен в области аналитичности ФКП  и по теореме Коши имеем .

Пусть теперь  – целое число, , а контур  охватывает

точку , тогда по замечанию (9) имеем

 .

При   из (5) имеем .

При   ( – целое) получаем , так как

.

ПРИМЕР 6. Вычислить .

Решение. Контур интегрирования  – окружность с центром в точке  и радиусом , поэтому контур не охватывает особую точку . ФКП  аналитическая внутри
контура и на нем; по теореме Коши интеграл .

Задание

Вычислить , рассмотрев в качестве контура   окружности: 1) ;  2) ; 3) .

Ответ: интеграл  имеет различные значения в зависимости от
расположения контура интегрирования относительно особых точек подынтегральной функции, а именно:

1) ;  2) ; 3) .

Вычислить .

Ответ: .

Вычислить .

Ответ: . Следует разложить ФКП  на
простейшие дроби. Обращаем внимание на то, что разложение дробно-рациональной ФКП на простейшие дроби проводится аналогично тому, как это проводилось в действительной области. Новым здесь является лишь то, что знаменатель дроби всегда разложим на линейные множители, при этом коэффициенты разложения могут быть комплексными числами.


Пример. Вычислить интеграл