Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Классификация особых точек ФКП Разложение ФКП в ряд Тейлора

Пусть ФКП  – однозначная аналитическая в некоторой
окрестности  точки . Максимальный радиус  окрестности аналитичности ФКП  в точке  равен расстоянию от   до ближайшей особой точки функции . В  имеем по формуле Коши (11) , где  удовлетворяет
условиям:  и .

Разложим дробь  в степенной ряд по степеням  в области . Для этого запишем

. (1)

Здесь использована формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии  при , где  ( – на окружности, т.е. , а ). Подставим разложение (1) в выражение для , получаем

 –
степенной ряд по , коэффициенты которого

,  (см. [11]).

Окончательно можно записать

, (2)

т.е. однозначная аналитическая в точке  ФКП  представима рядом Тейлора в точке , причем область сходимости этого ряда совпадает с .

Нетрудно убедиться, что разложение ФКП в ряд Тейлора единственно, т.е. найденное любым способом представление аналитической в круге  функции  в виде степенного ряда совпадает с разложением (2). Этот факт часто используется при решении задач.


Пример. Вычислить интеграл