Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Разложить в ряд ФКП  по степеням .

Решение.  является всюду аналитической ФКП в –плоскости. Разложение в ряд по степеням  проводится в  – точке аналитичности , поэтому степенной ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции в точке , сходящимся к  на всей –плоскости:

, т.е.

,  – любое.

Отметим, что ряд получен при использовании уже известного разложения по  для .

ПРИМЕР 2. Разложить в ряд по степеням  функцию .

Решение. Воспользуемся снова формулой суммы всех членов
убывающей геометрической прогрессии

, (3)

получим

.

Получили ряд Тейлора по степеням  ФКП  с
радиусом сходимости ; геометрически это число соответствует радиусу максимальной окрестности аналитичности  в точке , т.е. расстоянию  до особой точки .

ПРИМЕР 3. Разложить в ряд по степеням  ФКП .

Решение. ФКП  имеет особую точку , в точке  она аналитическая, причем максимальная окрестность аналитичности  в точке  имеет радиус .

После преобразования получаем для

.

ПРИМЕР 4. Разложить ФКП  в ряд по степеням разности .

Решение. Особые точки функции находим из уравнения  или . В точке   – аналитическая, радиус  максимальной окрестности аналитичности есть .

Преобразуем  так, чтобы разность  входила в явном виде, и, применив формулу (3), получаем

.

ПРИМЕР 5. Разложить ФКП  по степеням разности , указать круг сходимости. Здесь  – главная ветвь ФКП .

Решение.

 при  или . Поэтому .

Всякий степенной ряд можно почленно интегрировать в области сходимости ряда, причем радиус сходимости сохраняется.

В заключение отметим, что ряд Тейлора ФКП , как правило, находят не по определению (2), а используя показанные в примерах 1 – 5 искусственные приемы разложения.


Пример. Вычислить интеграл