Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Убедиться, что для ФКП  ряд Лорана по степеням   состоит из конечного числа слагаемых.

Решение. Точка  – единственная особая точка функции,
поэтому  в кольце  может быть разложена в ряд Лорана. Разложение удобно провести, используя разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:

. (6)

Это представление функции и определяет ее ряд Лорана в указанном кольце, т.е. ряд по степеням   состоит из конечного множества (трех слагаемых) слагаемых, образующих главную часть ряда Лорана.

ПРИМЕР 8. Разложить ФКП  по степеням .

Решение. Точка  – особая точка функции. Используя разложение   по степеням , получаем

;

здесь ряд Лорана состоит из правильной части (первое слагаемое) и главной части, имеющей бесконечное множество слагаемых.

Если ФКП имеет несколько особых точек, то разложение ее в ряд Лорана может быть получено в каждом из колец аналитичности; естественно, что получающиеся ряды Лорана различны.

Пусть для определенности  имеет только две особых точки:   и , . Тогда можно рассмотреть следующие
ситуации.

1. Точка  не является особой точкой функции, т.е. . Обозначим ,   и предположим для конкретности . Тогда ФКП  может быть
разложена по степеням  в следующие ряды:

1) ряд Тейлора в круге аналитичности ;

2) ряд Лорана в кольце аналитичности ;

3) другой ряд Лорана в кольце .

2. Точка  совпадает с одной из особых точек, например, . Тогда ФКП может быть разложена в ряды:

1) ряд Лорана в кольце аналитичности ;

2) другой ряд Лорана в кольце .


Пример. Вычислить интеграл