Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции  в ряды Лорана по степеням . Найти эти разложения.

Решение. Функция имеет две особые точки: , . Точка  – точка аналитичности , она "окружена" кругом аналитичности , кольцами аналитичности  и .
Поэтому в каждой из этих областей  разложима в свой ряд по степеням .

1)

;

воспользовались формулой (3) при   и . В общей части этих областей сходимости слагаемых рядов окончательно имеем .

2) ; прежнее разложение для первого слагаемого при  можно использовать. Для второго слагаемого  получим разложение в ряд по степеням  из (3), используя условие ,

т.е. .

Окончательно имеем при

.

3) ; аналогично получаем

 в общей части областей   и , т.е. при .

Задание

1. Получить разложение в ряд по степеням   для  в кольце аналитичности .

Ответ:  – ряд Лорана имеет одно слагаемое в главной части.

2. Разложить ФКП  в ряд: а) по степеням   в круге ; б) по степеням  в кольце .

Ответы: а)  – ряд Тейлора;

б)  – ряд Лорана.


Пример. Вычислить интеграл