Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Классификация изолированных особых точек ФКП

Пусть  – изолированная особая точка ФКП . Тогда в некоторой окрестности  этой точки   может быть разложена в ряд Лорана по степеням .

Если ряд Лорана не содержит членов главной части, т.е. имеет вид

, (7)

то точка   называется устранимой особой точкой ФКП  (сокр. УОТ). Из (7) имеем

,  – конечное число. (8)

Если ряд Лорана по степеням  в  содержит конечное множество слагаемых в главной части, причем , а при всех , , т.е.

, (9)

то особая точка   ФКП  называется полюсом ""-го
порядка (при   – простым полюсом).

Из (9) следует выполнимость следующих условий:

,

, (10)

 – ненулевое число.

Если ряд Лорана по степеням  в  ФКП  содержит бесконечное множество слагаемых в главной части, то точка  называется существенно особой точкой (сокр. СОТ).

Часто бывает удобно определять тип изолированной особой точки аналитической функции  через предел этой функции в особой точке.

При этом могут представиться самостоятельно три случая:

1. , тогда  – УОТ,  локально ограничена;

2. , тогда особая точка  – полюс, причем  не ограничена при . При этом особая точка   есть полюс ""-го порядка функции , если , но
существует такое целое число , при котором .

3.   не существует, т.е. в точке  нет ни конечного, ни бесконечного предела функции ; тогда точка   – СОТ.

Поведение  при  неопределенное (неоднозначное).


Пример. Вычислить интеграл