Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Показать, что функция  имеет УОТ .

Решение. Для  имеем

,

т.е. в разложении функции по степеням  отсутствует главная часть ряда Лорана, поэтому  – УОТ для .

ПРИМЕР 11. Показать, что  имеет СОТ .

Решение. Разложим в ряд по степеням  функцию , получим

.

Видим, что ряд Лорана содержит бесконечное множество слагаемых в главной части, поэтому  есть СОТ данной функции.

Замечание. Для ФКП вида , где   и  –
аналитические ФКП, наличие особых точек типа полюс связано с
существованием нулей знаменателя .

Нулем ФКП  называется число  такое, что . Всякий многочлен ""-й степени

 ()

имеет точно "", вообще говоря, комплексных нулей. Поэтому
многочлен  может быть разложен на произведение линейных множителей .

Нуль многочлена  называется простым нулем (или
нулем кратности "1") многочлена , если он встречается только один раз в множестве  всех нулей многочлена , и называется нулем кратности "" ( – целое положительное число, ), если  встречается точно "" раз в множестве всех нулей многочлена. Для ""-кратного нуля  многочлен  делится нацело на  (т.е. отношение  есть многочлен), но не делится нацело на .

Известно, что точка  является нулем ""-й кратности функции   тогда и только тогда, когда , , , , .

Поэтому если  – простой нуль () функции  и , то  является для функции   простым полюсом. Если же  – нуль ""-й кратности функции   и , то  является для ФКП  особой точкой типа полюс ""-го порядка.


Пример. Вычислить интеграл