Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример Показать, что для ФКП  точка  – полюс второго порядка, точка  – полюс первого порядка.

Решение. Знаменатель  имеет нули:  кратности  и  – простой нуль (). Учитывая замечание,
получаем требуемый результат (числитель  ни при каком значении  не обращается в нуль).

ПРИМЕР 13. Изучить тип особых точек функции .

Решение. Поскольку  есть отношение двух всюду аналитических функций, то особыми точками могут быть только нули знаменателя. Из уравнения  имеем , . При  получим . Отсюда следует, что точка  – УОТ рассматриваемой ФКП.

Покажем, что точки ,  являются
простыми нулями знаменателя. Для этого воспользуемся следующим соображением:  является нулем ""-й кратности функции  тогда и только тогда, когда  является нулем ""-й кратности производной .

Вычислим , где . Получим  или , т.е. при любом значении   – простой нуль знаменателя, причем при этих значениях  числитель не обращается в нуль. Поэтому каждая из точек  является простым полюсом рассматриваемой функции.

ПРИМЕР 14. Изучить особые точки ФКП .

Решение. Преобразуем . При  функции  и  можно заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями.

.

Поэтому  является УОТ ФКП . Точки ,  и ,  являются простыми полюсами, так как каждая из этих точек есть нуль первого порядка знаменателя.

Задание

1. Изучить особые точки ФКП .

Ответ:  – простые полюса;  – полюс третьего порядка.

2. Изучить особую точку  ФКП .

Ответ:  – полюс второго порядка, так как

.

3. Показать, что точка  является СОТ для ФКП , разложив функцию в ряд Лорана по степеням .

19.4. ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФКП В БЕСКОНЕЧНОСТИ

Исследование поведения ФКП  при  в общем случае сводится преобразованием  к изучению ФКП  в точке . Ряд Лорана ФКП   в окрестности   (по степеням ) имеет формально тот же вид, что и при разложении в окрестности точки  по степеням , т.е. это ряд по степеням   вида . Однако при этом точка   является:

1) УОТ только тогда, когда ряд совсем не содержит членов с положительными показателями степеней ;

2) полюсом тогда и только тогда, когда ряд содержит конечное
множество
членов с положительными показателями степеней ;

3) СОТ тогда и только тогда, когда ряд содержит бесконечное множество слагаемых с положительными показателями степеней .

ПРИМЕР 15. Для  точка  является полюсом второго порядка, так как при  имеем . Поэтому  – полюс второго порядка функции , т.е.  – полюс второго порядка функции . Заметим, что  разложена по степеням , причем ряд содержит конечное множество степеней с положительными показателями.

ПРИМЕР 16. Для  точка  является простым
полюсом, так как при  имеем .
Поскольку  – простой нуль знаменателя, то  – простой полюс дроби, а поэтому  также простой полюс .

ПРИМЕР 17. Для ФКП  в окрестности  имеем , т.е. ряд содержит бесконечное
множество членов степеней  с положительными показателями.
Поэтому  – СОТ функции .


Пример. Вычислить интеграл