Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Вычислить вычеты ФКП: 1) ;

2) ; 3)  в особых точках.

Решение. 1). По определению (1) имеем

,

через ряд Лорана получаем тот же результат.

2). По определению (1) имеем

.

3). ФКП   – четная функция, точка  – СОТ, , так как ряд Лорана по степеням  содержит только четные степени  и , поэтому .

ПРИМЕР 2. Вычислить вычеты ФКП  в ее
особых точках.

Решение. Точка  – простой полюс, по формуле (4) имеем

.

Точка   – полюс 3-го порядка, поэтому применим формулу (3) при  и получим

.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

Решение. Точки  – СОТ, имеем

,

т.е. , поэтому .

Задание

1. Вычислить вычеты ФКП  в особых точках.

Ответ:  – УОТ, ;  – простой полюс, .

2. Найти . Ответ: .

Пример 5:

Найти точный закон радиоактивного распада, если t0–период полураспада., а x0– начальное количество. Причем известно, что мгновенная скорость распада линейно зависит от мгновенного количества вещества.

   

Задано, что х (0)=х0; x(t0)= х0/2;

Таким образом, закон распада:

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Такие уравнения в общем виде могут быть представлены как: 

Пусть y = UV, где U, V– некоторые функции от х, тогда подставляя, получаем:

Выберем V(x) так, чтобы она удовлетворяла условию:

 Берем любую функцию, удовлетворяющую этому уравнению, например, V = V(x) и подставляем в исходное уравнение 


Пример. Вычислить интеграл