Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Основная теорема о вычетах

Пусть ФКП  аналитическая на границе  области  и внутри этой области за исключением конечного множества изолированных особых точек . Построим около каждой особой точки  контур  так, чтобы внутри  была только одна особая точка ; контуры не пересекались; все контуры   были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает (см. рисунок). Так как ФКП  является аналитической в многосвязной области между , , , , , то по теореме Коши для многосвязной области имеем

.

Или, учитывая формулу (1) для вычета, получаем

. (8)

Итак, интеграл ФКП  по контуру  в рассматриваемом случае равен произведению  на сумму вычетов функции  в изолированных особых точках, расположенных внутри этого контура.

ПРИМЕР 4. Проиллюстрировать равенство (8) на примере интеграла от  по контуру .

Решение. Интеграл  вычислим, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби .

Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:

 (см. (5) в гл. 3).

Теперь вычислим интеграл по формуле (8) через вычеты. Точки  и  – простые полюса, в них имеем

;

, т.е. .

Как следствие основной теоремы о вычетах имеет место следующее утверждение: если ФКП  – аналитическая всюду, кроме конечного множества особых точек, то сумма вычетов этой функции во всех особых точках и вычета в бесконечности равна нулю, т.е.

. (9)


Пример. Вычислить интеграл