Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Пример. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция всюду аналитическая, кроме . По формуле (8) . Чтобы найти вычет функции в СОТ, следует разложить ФКП в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. по степеням . Для этого преобразуем

.

Далее воспользуемся разложениями функции  и  в степенные ряды по   и получим

.

Отсюда коэффициент  перед слагаемым  находится в виде , т.е. , .

ПРИМЕР 8. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки:  вне контура , ,  – пять особых точек, расположенных на окружности  внутри контура интегрирования. Можно вычислить интеграл по формуле (8)

,,

т.к. .

Но проще воспользоваться формулой (9) и заменить сумму
вычетов  через . Поскольку   – простой полюс, то имеем

.

Для нахождения   разложим  по степеням  в области

, отсюда , т.е. .

Окончательно получаем .

ПРИМЕР 9. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки:  – полюс 5-го порядка и   – полюса 6-го порядка. Поэтому вычисление интеграла по основной теореме о вычетах сопровождается громоздким счетом. Удобнее провести вычисление с использованием вычета функции в точке , т.е. применяя соотношение (9)

.

Поскольку подынтегральная функция имеет вид   – отношение многочлена   и многочлена 17-й степени, то представление в виде ряда по степеням , очевидно, содержит слагаемое , т.е.   и . Очевидно, имеем .

Задание

1. Вычислить интегралы: а) ; б) ;

в); г), где .

Ответы: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Доказать равенства: а)

б) ;  в) .


Пример. Вычислить интеграл