Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика функции комплексной переменной

Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть требуется вычислить интеграл вида , здесь  – некоторая рациональная функция двух переменных,  – переменная интегрирования, . Введем замену , где . Тогда отрезок интегрирования  отображается в окружность ,   комплексной плоскости, при этом ; , ,

. (1)

Получили контурный интеграл от дробно-рациональной ФКП,
который, вообще говоря, может быть вычислен, например, по основной теореме о вычетах; конечно, при этом не гарантируется простота счета.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

Решение. Проведем замену переменной

.

Особые точки подынтегральной функции  – простые полюса. Внутри контура  расположена точка , поскольку . Поэтому получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

Решение. Разобьем интеграл на два слагаемых интеграла, причем . Поэтому

.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

Решение. Разобьем интеграл на сумму интегралов, выделив целую часть:

. Получаем

,

где .

Особые точки подынтегральной функции  и  – простые полюса; внутри контура интегрирования лежит , поэтому  и окончательно

.

Задание

1.Вычислить . Ответ: (аналогично примеру 1).

2.Вычислить .

Ответ: . Разбить на два интеграла

в силу периодичности подынтегральной функции.

3.Вычислить .

Ответ: . Используем свойство четности подынтегральной функции с периодом :

, здесь .


Пример. Вычислить интеграл