Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Вычисление интегралов вида

Утверждение

Пусть 1) ФКП  удовлетворяет условиям леммы Жордано (вторая и третья формы); 2)  – АФКП, включая прямую , за исключением конечного множества  особых точек слева от указанной прямой и конечного множества  особых точек справа от . Тогда справедлива формула

Обоснование утверждения проводится аналогично рассуждениям, приводящим к формуле (6).

Решение интегралов Выполнение контрольного, курсового, типового расчета

ПРИМЕР 9. Вычислить .

Решение. Особые точки ФКП  есть ,  – простые полюса, поэтому ;

;

 – используем сопряжение чисел  и . Тогда

.

Поэтому при  

при  

при  

Заметим, что в последнем случае расположения прямой , при котором все особые точки ФКП  расположены левее этой прямой интегрирования, значение  соответствует формуле обращения преобразования Лапласа.

Признак Дирихле.

Пусть дан ряд:

  тогда  сходится.

Доказательство: По критерию Коши: .

 по условию

Используя преобразование Абеля, получим неравенство:

Следовательно, критерий Коши выполнен, поэтому ряд сходится.

Из признака Дирихле следует признак Лейбница:

Если .


Пример. Вычислить интеграл