Простейшие свойства преобразования Лапласа
1. Однородность. Если для оригинала
изображение есть
,
, то для всякого числа
оригинал
имеет изображение
,
. Схематично это утверждение можно записать в виде
. (4)
Свойство однородности преобразования Лапласа означает, что при умножении оригинала на ненулевое число его изображение также умножается на это число.
2. Аддитивность. Изображение суммы двух оригиналов равно сумме изображений слагаемых, т.е.
, (5)
.
Свойства однородности и аддитивности преобразования Лапласа определяют его линейность. Изображение линейной комбинации конечного множества оригиналов есть линейная комбинация соответствующих изображений, т.е. если
, где
– постоянные,
– оригиналы,
для
, то
,
.
3. Подобие (или свойство изменения масштаба)
. (6)
Проверка утверждений о простейших свойствах изображений проводится непосредственно по определению (1). Например, справедливость свойства подобия получаем из соотношения
. Используя замену переменных
и учитывая, что при
пределы интегрирования не изменяются, имеем
.
ПРИМЕР 7. Используя простейшие свойства ПЛ, найти изображения тригонометрических и гиперболических функций.
Решение. По формуле Эйлера имеем:
. Используя пример 6 и формулы (4) – (6), получаем изображение для
в виде
, т.е. справедливо соотношение
.
По формуле Эйлера
и для оригинала
имеем изображение
,
т.е.
. Аналогично устанавливаются соотношения
и
.
Заметим, что каждое из установленных соотношений имеет место в области
; слева в соотношениях – оригиналы.
Пример:
не существует, но
=1 => => R = 1
2 теорема Абеля: Ряд
сходится в точке x=x0 . Тогда ряд
сходится равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0] если x0<0).
Доказательство:
![]()
=> По признаку Абеля
Следствия:
Пример. Вычислить интеграл |
|