Простейшие свойства преобразования Лапласа
1. Однородность.
Если для оригинала 
изображение есть 
, 
, то для всякого числа 
оригинал 
имеет изображение 
, . Схематично это утверждение можно записать в виде
.
(4)
Свойство однородности преобразования Лапласа означает, что при умножении оригинала на ненулевое число его изображение также умножается на это число.
2. Аддитивность. Изображение суммы двух оригиналов равно сумме изображений слагаемых, т.е.
, (5)
.
Свойства
однородности и аддитивности преобразования Лапласа определяют его линейность.
Изображение линейной комбинации конечного множества оригиналов есть линейная комбинация
соответствующих изображений, т.е. если 
, где 
– постоянные, 
– оригиналы, 
для 
, то 
,
.
3. Подобие (или свойство изменения масштаба)
. (6)
Проверка
утверждений о простейших свойствах изображений проводится непосредственно по определению
(1). Например, справедливость свойства подобия получаем из соотношения 
. Используя замену переменных 
и учитывая, что при 
пределы интегрирования не изменяются, имеем
.
ПРИМЕР 7. Используя простейшие свойства ПЛ, найти изображения тригонометрических и гиперболических функций.
Решение. По формуле Эйлера имеем: 
. Используя пример 6 и формулы (4) – (6), получаем изображение
для 
в виде 
,
т.е. справедливо соотношение 
.
По формуле Эйлера 
и для оригинала 
имеем изображение 
,
т.е. 
. Аналогично устанавливаются соотношения
и 
.
Заметим, что каждое
из установленных соотношений имеет место в области 
;
слева в соотношениях – оригиналы.
Пример: 
не существует, но 
=1 => => R = 1
2
теорема Абеля: Ряд 
сходится в точке x=x0 . Тогда ряд
сходится равномерно на отрезке [0;x0] (или [x0;0]
если x0<0).
Доказательство:
=> По признаку Абеля
Следствия: