Типовые задачи
Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле
,
,
(см. пример 1).
Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для
"свернуть" в формулу и перейти к пределу.
ПРИМЕР. Вычислить
– точное значение суммы ряда
. Указать такое значение
, при котором
.
Решение. Общий член ряда
можно представить в виде
. Поэтому
, т.е.
и
с погрешностью
. По
находим
, требуя
или
, например
.
Итак, точное значение суммы ряда
; для приближенного вычисления суммы
с погрешностью
нужно взять
.
Задача 3. Изучить поведение числового ряда.
Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.
Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи
встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить
); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства
, иногда в предельной форме
) и т.д (см. примеры 4, 5).
Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).
Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.
ПРИМЕР. Доказать
, т.е. показать, что при
б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.
Решение. Рассмотрим ряд
– числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим
, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от
не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при
даст
.
Итак, по признаку Д'Аламбера (
) ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при
.
Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно
либо с последующей оценкой погрешности
, либо проведение счета с заданной заранее погрешностью
, т.е. сначала по
находим
, а затем
.
Оценка погрешности приближенного равенства
проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.
1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем
.
ПРИМЕР. Ряд
– сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью
(три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).
Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то
; потребуем
.
Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы
с
.
2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку
– положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого
. Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.
ПРИМЕР. Для ряда
оценка погрешности приближения
запишется в виде
;
итак,
с погрешностью
.
(**) Иногда полезны рассуждения:
.
Если последовательность
, т.е.
, то, обозначив
, получим
;
и т.д.
Поэтому если 1)
и 2)
, то
.
(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем
.
Разложение функций в степенные ряды |
|