Типовые задачи
Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле
,
, 
(см. пример 1).
Задача 2. Иногда
сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для 
"свернуть" в формулу и перейти к пределу.
ПРИМЕР. Вычислить 
– точное значение суммы ряда 
. Указать такое значение 
, при котором 
.
Решение.
Общий член ряда 
можно представить в виде 
.
Поэтому
, т.е. 
и 
с погрешностью 
. По 
находим 
, требуя 
или 
, например 
.
Итак, точное значение суммы ряда 
; для приближенного вычисления суммы с погрешностью 
нужно взять 
.
Задача 3. Изучить поведение числового ряда.
Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.
Для положительнозначных рядов обычно применяются признак
Д'Аламбера (если в записи 
встречается
"факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить 
); интегральный признак (если интегрирование
соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки
неравенства 
, иногда в предельной форме 
) и т.д (см. примеры 4, 5).
Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).
Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.
ПРИМЕР. Доказать 
, т.е. показать, что при 
б/б последовательность в знаменателе "существенно
быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.
Решение.
Рассмотрим ряд 
– числовой положительнозначный; удобно применить достаточное
условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим 
,
поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная
(от не зависит), а в знаменателе – показательная функция,
которая при даст 
.
Итак,
по признаку Д'Аламбера (
) ряд сходится, по необходимому условию его общий член
стремится к нулю при .
Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно
либо с последующей оценкой погрешности
, либо проведение счета с заданной
заранее погрешностью 
, т.е. сначала по находим , а затем 
.
Оценка погрешности приближенного равенства проводится различно в зависимости от структуры
слагаемых ряда.
1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к
ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем 
.
ПРИМЕР.
Ряд 
– сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов
ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью (три точных цифры справа от запятой в приближенном
значении суммы ряда).
Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем 
.
Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда,
чтобы 
с .
2. Для положительнозначного ряда рассмотренная
оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку 
– положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше
первого слагаемого 
. Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы:
(*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого
каким-либо способом вычисляется.
ПРИМЕР. Для ряда 
оценка погрешности приближения 
запишется в виде 
;
итак, с погрешностью 
.
(**) Иногда полезны рассуждения:
.
Если
последовательность 
, т.е.
,
то, обозначив 
, получим
;
и т.д.
Поэтому если 1) и 2) 
, то 
.
(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем
.