Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на решение числовых рядов

Типовые задачи

Задача 1. Если числовой ряд есть сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то такой ряд сходится (абсолютно) и его сумма находится по формуле

(см. пример 1).

Задача 2. Иногда сумму ряда можно вычислить, если удается выражение для   "свернуть" в формулу и перейти к пределу.

ПРИМЕР. Вычислить  – точное значение суммы ряда . Указать такое значение , при котором .

Решение. Общий член ряда  можно представить в виде . Поэтому

, т.е.  и  с погрешностью . По  находим , требуя  или , например .

Итак, точное значение суммы ряда ; для приближенного вычисления суммы  с погрешностью  нужно взять .

Задача 3. Изучить поведение числового ряда.

Заметим, что начинать изучение ряда ВСЕГДА рекомендуется с проверки необходимого условия сходимости. Если оно выполнено, то выясняем структуру слагаемых ряда.

Для положительнозначных рядов обычно применяются признак Д'Аламбера (если в записи  встречается "факториал"); признак (радиальный) Коши (если удобно вычислить ); интегральный признак (если интегрирование соответствующей функции негромодко); признаки сравнения (иногда после проверки неравенства , иногда в предельной форме ) и т.д (см. примеры 4, 5).

Для знакочередующегося ряда, как правило, используется ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА; для знакопеременных рядов, в общем виде, – достаточное условие сходимости (через поведение ряда из "абсолютных величин" слагаемых); при этом обязательно следует указать характер сходимости (абсолютно или условно).

Задача 4. Сравнение двух неэквивалентных бесконечно больших (сокр. б/б) последовательностей.

ПРИМЕР. Доказать , т.е. показать, что при  б/б последовательность в знаменателе "существенно быстрее" возрастает, чем б/б последовательность в числителе.

Решение. Рассмотрим ряд  – числовой положительнозначный; удобно применить достаточное условие сходимости 'Аламбера, т.е. вычислим

, поскольку после 4-кратного применения правила Лопиталя в числителе останется постоянная (от  не зависит), а в знаменателе – показательная функция, которая при  даст .

Итак, по признаку Д'Аламбера () ряд сходится, по необходимому условию его общий член стремится к нулю при .

Задача 5. Вычисление суммы числового ряда приближенно  либо с последующей оценкой погрешности , либо проведение счета с заданной заранее погрешностью , т.е. сначала по  находим , а затем .

Оценка погрешности приближенного равенства  проводится различно в зависимости от структуры слагаемых ряда.

1. Если ряд знакочередующийся, то согласно следствию к ТЕОРЕМЕ ЛЕЙБНИЦА имеем .

ПРИМЕР. Ряд  – сходится (условно). Выяснить, сколько нужно взять членов ряда, чтобы знать сумму ряда с погрешностью  (три точных цифры справа от запятой в приближенном значении суммы ряда).

Решение. Поскольку ряд знакочередующийся, то ; потребуем .

Итак, нужно взять около миллиона слагаемых ряда, чтобы  с .

 2. Для положительнозначного ряда рассмотренная оценка погрешности НЕВЕРНА, поскольку  – положительнозначный ряд и его сумма обязательно больше первого слагаемого . Поэтому для оценки погрешности используются иные подходы: (*) подбирается другой "оценочный сверху" числовой ряд, сумма которого каким-либо способом вычисляется.

ПРИМЕР. Для ряда  оценка погрешности приближения  запишется в виде

;

итак,  с погрешностью .

(**) Иногда полезны рассуждения:

.

Если последовательность , т.е.

, то, обозначив , получим

;

  и т.д.

Поэтому если 1)  и 2) , то .

(***) Если ряд удовлетворяет условиям интегрального признака, то из геометрических соображений имеем

.


Разложение функций в степенные ряды