Числовые ряды Функции комплексной переменной Операционное исчисление Примеры решения задач

Математика задачи на интегрирование и дифференцирование

Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения

Теорема (о запаздывании оригинала)

Если  и  , то для  справедливо соотношение

.  (13)

Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом , запаздывает на  по сравнению с первоначальным  (см. рисунок), то изображение, соответствующее этому процессу, получается умножением изображения первоначального оригинала на . В самом деле, для оригинала  по определению (1) изображение запишется в виде

, поскольку  для каждого . Проведем замену переменной , . Тогда

.

ПРИМЕР 13. Найти изображение прямоугольного импульса амплитуды   продолжительностью  с запаздыванием  (см. рисунок).

Решение. Импульс

можно записать аналитически с помощью единичной функции в виде

Используя свойства преобразования Лапласа и теорему о запаздывании оригинала, получаем

.

Замечания: 1. При использовании теоремы запаздывания оригинала рекомендуется всегда оригинал записывать с множителем . В противном случае возможны ошибки. Например, для оригинала , а для оригинала .

2. Теорема запаздывания оригинала используется для нахождения изображения кусочно-непрерывных функций (иногда их называют "склеенными" функциями).

ПРИМЕР 14. Найти изображение оригинала

Решение. Можно записать . Тогда .

Здесь имеем  и

Суммируя эти функции на промежутках , , , получаем значение функции .

Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида , где an, x0 –постоянные, x – переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е.

1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x0. Тогда для любого "h< ряд сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство: Так как  сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.

сходится по признаку Вейерштрасса

Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:

D=, где R – радиус сходимости.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают  - ряд сходится на всей числовой прямой.

Приведём примеры:

Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.

Признак Даламбера:

  

Признак Коши:

 

Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.


Пример. Вычислить интеграл