Пример. Найти изображение функции, представленной графиком на рисунке.
Решение. Функция
может быть представлена через единичную функцию
, а именно
. Для того, чтобы применить теорему о запаздывании оригинала, преобразуем второе слагаемое к виду
. Окончательно получаем
и по формуле (13)
.
ПРИМЕР 16. Найти изображение функции, представленной графиком.
Решение. По рисунку имеем
Через единичную функцию
запишем
так, чтобы на каждом из промежутков значение
совпало с вышеуказанным, а в точках "стыка" графика "вводилась" единичная функция с соответствующим сдвигом аргумента. Получаем
и соответственно
.
Теорема (о смещении изображения)
. (14)
В самом деле, для оригинала
изображение находится по формуле (1)
.
Число
может быть действительным или комплексным,
.
ПРИМЕР 17. Найти изображение оригиналов
,
,
.
Решение. Из примера 7
. По теореме (14) имеем
.
Аналогично
,
.
Задание
Найти изображения функций:
а)
б)
в)
.
Ответы: а)
; б)
;
в)
.
Найти изображения оригиналов:
а)
, б)
; в)
.
Ответы: а)
; б)
; в)
.
Пример 1: Решить уравнение
. Его решение:
определено на
. Отметим, что эта постоянная – произвольная и решение – не единственное, а имеется бесконечное множество решений.
рис.1
Таким образом, серия графиков получена параллельным переносом на константу С.
рис.2
Пример. Вычислить интеграл |
|